シュレディンガー表示
時刻tにおける系の状態を \(\left|\left.\ \Psi\left(t\right)\right\rangle\right._S\) とする。このとき、Sはシュレディンガー描像の意味し、\(\left|\left.\ \Psi\left(t\right)\right\rangle\right._S\) の時間発展はシュレディンガー方程式を用いて
$$iħddtΨtS=HΨtS\qquad(1)$$
と表せる。ここで、ある物理量を表す演算子を\({\hat{O}}_S\)とすると、時刻tにおけるその期待値\(\bar{O}\left(t\right)\)は系の状態のブラ・ケットベクトルによって、\(\hat{O}\)を挟むと求められ
$$\bar{O}\left(t\right)=_S\left.\ \left\langle\Psi\left(t\right)\right.\right|{\hat{O}}_S\left|\left.\ \Psi\left(t\right)\right\rangle\right._S \qquad(2)$$
となる。このとき、物理量の演算子\({\hat{O}}_S\)自体に時間成分は無いが、状態ベクトル\(\left|\left.\ \Psi\left(t\right)\right\rangle\right._S\)を用いることで期待値\(\bar{O}\left(t\right)\)の時間変化を表現する事ができる。この様に、状態ベクトルの変化で系の時間発展を表現する手法をシュレディンガー描像と言う。
ハイゼンベルク表示
時間変化を状態ベクトル。(1)を不定積分すると
$$\int{\frac{1}{\left|\left.\ \Psi\left(t\right)\right\rangle\right._S}d\left|\left.\ \Psi\left(t\right)\right\rangle\right._S}=1iħHdt+C$$
$$\ln{\left|\left.\ \Psi\left(t\right)\right\rangle\right._S}=-iHħt+C$$
$$\left|\left.\ \Psi\left(t\right)\right\rangle\right._S=C^\prime\ exp-iHħt\qquad(3)$$
となる。CとC’は積分定数とする。ここで、初期条件として\(t\rightarrow t_0\)を代入すると
$$\left|\left.\ \Psi\left(t_0\right)\right\rangle\right._S=C^\prime\ exp-iHħt0$$
$$C^\prime=expiHħt0Ψt0S\qquad(4)$$
となり、(4)を(3)に代入すると
$$\left|\left.\ \Psi\left(t\right)\right\rangle\right._S=exp-iHħt-t0Ψt0S(5.05)$$
となる。$$\left|\left.\ \Psi\left(t_0\right)\right\rangle\right._S$$は変数tを持たないため、時間に依存しない状態ベクトルとなる。よって、(5)を (2)に代入すると
$$\bar{O}\left(t\right)=_S\left.\ \left\langle\Psi\left(t_0\right)\right.\right|expiHħt-t0OSexp-iHħt-t0Ψt0S\qquad(6)$$
となる。このとき、
$$\left|\left.\ \Psi\right\rangle\right._H=\left|\left.\ \Psi\left(t_0\right)\right\rangle\right._S\qquad(7)$$
$${\hat{O}}_H\left(t\right)=expiHħt-t0OSexp-iHħt-t0\qquad(8)$$
と定義すると(6)は
$$\bar{O}\left(t\right)=_H\left.\ \left\langle\Psi\right.\right|{\hat{O}}_H\left(t\right)\left|\left.\ \Psi\right\rangle\right._H \qquad(9)$$
となる。よって、シュレディンガー描像では状態ベクトルで時間変化を表現していたが、この操作により演算子\({\hat{O}}_H\)で時間を表現する事となった。この様に、状態ベクトルが時間に依存せず、演算子が時間変化することで時間発展を表す手法をハイゼンベルク描像と言う。
ハイゼンベルク方程式
ハイゼンベルク描像における演算子(8)を時間微分すると
$$\frac{d}{dt}{\hat{O}}_H\left(t\right)=dexpiHħt-t0dtOSexp-iHħt-t0+expiHħt-t0OSdexp-iHħt-t0dt=iHħexpiHħt-t0OSexp-iHħt-t0-expiHħt-t0OSiHħexp-iHħt-t0\qquad(10)$$
となる。ここで、演算子\(\hat{H}と{\hat{O}}_S\)の交換関係を考えると
$$\frac{d}{dt}{\hat{O}}_H\left(t\right)=iħH,expiHħt-t0OSexp-iHħt-t0； \frac{d}{dt}{\hat{O}}_H\left(t\right)=-iħOHt,H\qquad(11)$$
となる。これはハイゼンベルク方程式と呼ばれ、演算子\({\hat{O}}_H\left(t\right)\)の時間発展を表す。
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